Tecniche di calcolo mentale
 

Quanti ormai sono capaci da fare conti a mente? Temo assai pochi anche con carta e penna... l'era dell'elettronica, se da una parte ha portato non pochi giovamenti, ha anche prodotto la quasi scomparsa di capacità derivanti da abitudini necessarie... basti pensare all'ormai del tutto scomparsa, questa da moltissimo tempo, capacità di usare bene la memoria. Gli antichi aedi memorizzavano interi poemi epici ed erano in grado di sciorinarne dei pezzi qualsiasi in qualsiasi occasione. Adesso uno che riesce ad imparare a memoria le Divina Commedia verrebbe visto come un fenomeno (da baraccone per lo più).

Direte... a che serve tenere in memoria un poema e fare a mente conti complessi?
Certo, se consideriamo il "servirci" solo da un punto di vista della convenienza esterna, l'unica utilità sarebbe quella di stupire il prossimo, ovvero la direzione del fenomeno da baraccone.
Invece le utilità sono molteplici e si esplicano quasi tutte internamente e hanno a che fare con lo sviluppo e l'utilizzo delle nostre capacità mentali... in un mondo dove ormai il mentale domina indisturbato nell'individuo, ma solo quantitativamente... di qualità ce n'è assai poca.

Per non dire del fatto che, almeno per i calcoli (per la memoria ho perso la speranza) siamo a mio avviso ad un livello pericoloso. Ok, forse non serve saper fare a mente calcoli complessi, però il livello di autonomia dall'apparato calcolatore (qualunque esso sia) scende sempre più e si sta arrivando a logiche assurde, per le quali ad esempio una commessa una la calcolatrice per dare il resto (se non ha una cassa che calcola di suo), che al supercoop non si è capaci di seguire mentalmente quanto si sta spendendo, che di fronte a qualcosa di appena appena più inusuale di uno sconto del 30% (e anche li... lo sappiamo controllare?) ci si perde e si va in confusione. Potrei aggiungere vari esempi, magari ve ne viene in mente qualcuno.

Insomma, l'abitudine a calcolare a mente sta scomparendo... e con essa i sistemi per farlo.

Tornando invece ai vantaggi di una certa abilità in questo campo, i primi sono diretti alla comprensione proprio dei numeri e dei loro meccanismi. Chi li maneggia, chi ci sa giocare, chi non li teme, meglio li capisce, meglio li usa, più facilmente accede a determinati sistemi di pensiero. Insomma si aprono orizzonti... provare per credere.

Dopo questa lunga intro (sulla quale si può certamente discutere) dico che ho aperto in questa sezione perchè mi piacerebbe esplorare con voi alcune tecniche (di base) di calcolo mentale e vedere se possono darci qualche beneficio che vada al di là della semplice curiosità.
Accenno (ma magari approfondiamo) anche al fatto che imparare qualche trucchetto (o imparare la struttura di qualcosa che già usiamo circa), oltre a far capire meglio il funzionamento dei numeri e in numeri stessi, assieme a tutto ciò che vi è connesso (parecchie cose trattate in altre sezioni) può avere anche dei simpatici effetti in tutta la sfera del pensiero e non solo in quella, per chi sa apprezzarli.

Nelle prossime puntate inizieremo con semplici somme (e sottrazioni, che tanto son la stessa cosa, ricordate?), ma vedremo già come ci sono dei metodi prettamente analitici, che sviluppano quindi le capacità razionali, e come ci siano anche metodi più sistetici, che portano quindi a meccanismi intuitivi (questi ultimi però a mio avviso meno immediati da imparare dei primi).

:C:

Volevo aggiungere una cosa, ad ampliare i vantaggi di una capacità di questo genere, anche se saranno più chiari in seguito e se forse sarebbero un buon argomento di discussione in altra sezione.
Chi sa usare i numeri nella sua testa viene fregato più difficilmente da un sistema che produce proposte economiche sempre più confuse... dal prezzo al Kg in supercoop, ai mutui bancari, alle assicurazioni, ai reali costi di un servizio eccetera.

Volete mettere il vantaggio di calcolare a mente l'ammontare della rata di un prestito prima che il pc dell'impigato di banca la sputi fuori dato il tempo di digitazione? Mentre di solito siamo in svantaggio psicologico in questo tipo di colloqui. Se applicate la cosa ai vari ambiti della vostra vita, il limite è la fantasia...

hello2.gif hello2.gif evvai hello2.gif magari di sfuggita puoi spiegare anche come si gioca a sudoku? Anche quello penso potrebbe servire per prender confidenza con i numeri
fiori.gif fiori.gif

A dire il vero per giocare a sudoku non serve conoscere i numeri strabuzza:

Se fossero nove simboli qualsiasi (tipo casetta, sole, nuvoletta eccetera) sarebbe identico. Si usano i numeri per rendere più facile visivamente la cosa, dato che siamo abituatissimi.
Magari apriamo in palestra...

oh ma allora davvero basta "solo" riuscire a non ripeterli senza che sia necessario avere, ad esempio, una certa somma che si ripete su tutti i lati e/o diagonali? manata.gif
scusa per l'interferenza Ray fiori.gif fiori.gif fiori.gif

Esatto

Bene, iniziamo dalle cose semplici... somme (e sottrazioni) e moltiplicazioni.

Per quanto riguarda le somme (e anche le moltiplicazioni) le tecniche più immediate si basano sulle proprietà associativa e distributiva (evetualmente le teorizziamo) che, per dirla breve, consistono nello spezzettare o mettere assieme i vari addendi.

In pratica, siccome per esempio 23 = 20+3, se devo sommarlo ad un numero X, posso fare prima +20 e poi +3... quindi se devo fare, per dire, 45+23, posso fare 45+20=65 e 65+3=68.

Questa cosa, con ogni probabilità, la usiamo già tutti senza farci troppo caso, quasi senza rendercene conto. Invece è importante rendersene conto, per via di un discorso connesso che vorrei portare avanti parallelamente... quando vedremo conti più complicati, che permettono vari diversi apporcci per essere affrontati, l'osservarsi scegliere automaticamente una strada piuttosto di un'altra può dare indicazioni insospettabili sulle preferenze del nostro funzionamento soggettivo (approfondiremo).

Oltre al sistema qui sopra, vale anche il discorso analogo con la sottrazione. Siccome, per esempio, 28=30-2, quando devo sommarlo ad un numero X posso fare prima +30 e poi -2... ed ecco che 85+28= 85+30-2=115-2=113.

Come scegliere una o l'altra? Beh, ovviamente entrambi i metodi sono corretti e portano a risultati corretti (così come lo scomodo contare per uno, se è per questo), tuttavia ci sono delle convenienze.
In linea di massima conviene sempre avvicinarsi alla decina intera... quindi usare il primo metodo per i numeri che finiscono con cifre comprese da 1 a 4 e l'altro per numeri che finiscono con cifre dal 6 al 9. Per il 5 a piacere.
Attenzione però che questo consiglio non è sempre il migliore... se le cifre da sommare (o sottrarre) sono più di due può convenire tenere in considerazione le decine o le centinaia e fare il contrario di quel che dice l'ultima cifra.
Ovviamente i due sistemi possono essere combinati se è convenienete.

Ad esempio, se devo fare 1128+7655... come prima cosa meglio invertirli (di solito è meglio aggiungere il minore al maggiore) e fare 7655+1128. A questo punto mi conviene sommare 1000 (8655), poi 100 (8755) poi 30 (8785) e poi togliere 2 (8783).

Ah, altro consiglio, più "mentale". Conviene pensare i numeri col dialettico una cifra alla volta (sette sei cinque cinque invece di settemilaseicentocinquantacinque) e con l'immaginativo tenere separati gli ordini di grandezza (sette nella quarta casella (migliaia), sei nella terza (centinaia) e così via)... ma anche qui, non è sempre detto che sia il migliore.

Ho parlato di dua modi diversi di pensare contemporaneamente... non è per nulla facile, ma riuscirci può essere un obiettivo che va ben al di là del fare i conti. Fare i conti può essere un mezzo che ci aiuta a raggiungerlo.

Ok, a questo punto, dovreste essere in grado di eseguire i seguenti calcoli a mente, diciamo in ... 7 secondi (l'uno).

236+45
365+94
225+636
456-235
483-237

Che mi dite? (può sembrare di no, ma sono stato generoso coi secondi)

Niente? Ci avete provato?

Beh, non avevo il cronometro ma sono tutti calcolabili a mente in una manciata di secondi.
Allora:

236 + 45 = al 236 aggiungo 40 (276) al 276 aggiungo 5 = 281

365 + 94 = al 365 aggiungo 4 (369) poi aggiungo 100 (469) e tolgo 10 = 459
Mi sembra più veloce che aggiungere 100 al 365 e poi togliere 6.....

225 + 636 = al 636 aggiungo 220 (856) poi aggiungo 5 = 861

456 - 235 = al 400 tolgo 200 (256) al 256 tolgo 30 (226) quindi tolgo 5 = 221
Ma posso anche togliere prima il 5 dal 256 (251) poi il 30 (221), il primo calcolo però mi viene più immediato.

483 - 237 = questo è un po' più lunghetto....
Al 483 tolgo 200 (283) al 283 tolgo il 30 (253) rimane da togliere il 7 e per toglierlo calcolo 253 - 3 (250) al 250 tolgo il 4 = 246
In effetti può essere più veloce togliere 40 dal 283 (243 e aggiungere 3) = 246

ma spesso con le sottrazioni in cui in precedenza ho aggiunto qualcosa mi confondo e rischio di togliere invece che aggiungere la cifra in più che ho aggiunto prima per arrotondare alla decina, perciò di solito seguo il primo metodo, ma è solo questione di allenamento....

Un esercizio di calcolo mentale che faccio spesso è quando voglio calcolare se mi danno il resto giusto di una cifra tonda, in questo caso, calcolo prima le unità per arrivare alla decina superiore e poi le decine che rimangono per arrivare alla cifra tonda....
Parlando di euro si possono tralasciare le unità (centesimi)....

:C:

236+45
240+45=285-4=281
(mentre lo leggevo la prima volta però ho fatto 236+50=286-5=281)

365+94
365+100=465-6=460-1=459
un pò contorto così,sono rimasta ferma un pò al -6 finchè non l'ho scomposto in 5+1, non mi sono bastati 7 secondi

225+636
230+636=866-5=861
oppure 225+635=860+1

456-235
455-235 (55-35 prima (che diventa 5-3 perchè le unità sono uguali quindi danno 0) 400-200 dopo)=220+1=221

483-237
faccio 83-37= 80-37=43+3=46+200=246

mmmm
due riflessioni al volo
1- ho sempre comunque bisogno di guardare i numeri scritti, se provo a pensarli e basta si mettono a ballare la rumba cambiando di posizione icon_mrgr: e non riesco più a fare i conti. Ottimo il suggerimento di pensare al numero come una serie di numeri e non come duecentoventitre ad es....
2-tendo a dimenticarmi dei conti fatti con le scomposizioni, tipo aggiungere il tre se l'avevo tolto per avere un numero tondo o toglierlo se lo avevo aggiunto...un pò come i famosi riporti delle moltiplicazioni che rimangono sempre in cima alla colonnina e non li aggiungo quasi mai martello.: la distrazione è sempre stata la causa dei miei errori in mate.

7 secondi ad essere generoso? piango.gif aiuto...vabbè dai diciamo che causa febbre sono un pò più lenta..:@@

Come qualcuno ha notato è più difficile (molto) fare i conti completamente a mente piuttosto che avere le cifre da calcolare scritte davanti a se. Il motivo è semplice... meno cose da tenere "davanti agli occhi della mente", se alcune sono davanti agli occhi fisici. Come dire che al supercoop è più facile fare i conti guardando il cartellino o al negozio con gli sconti... quindi se dovete stupire qualcuno al bar, scrivetevi sul tovagliolo le cifre da calcolare e usate tutta la mente per muoverle (invece che una parte per tenerle ferme).

Io andrei avanti visto che fin qui ci siamo, anche se sarebbero da commentare i diversi criteri da voi usati. Usare diversi criteri va benissimo (anche se l'ottimale sarebbe saperli usare tutti), va solo considerata una cosa. Un criterio può essere più vantaggioso di n altro, per cui meglio avere dimestichezza con tutti e poi scegliere. Tuttavia, a parità di convenienza, un criterio può essere più consono a Tizio e un altro a Caio, quindi ad ognuno il suo. Vedremo meglio la differente convenienza dei criteri quando i calcoli si complicheranno... differenze che, con somme semplici come quelle che abbiamo visto sinora, sono quasi irrilevanti, con moltiplicazioni e divisioni complesse risultano decisive.

Bon, detto ciò passerei alla moltiplicazione... che per un verso o per l'altro entra in quasi tutti i calcoli che possiamo trovarci a fare nella vita quotidiana, ma soprattutto è la moltiplicazione che inizia ad aprire le porte ad esercizi più impegnativi, con i relativi maggiori benefici per noi, e grazie ad essa si iniziano ad intravedere alcune proprietà interessanti dei numeri... proprietà che possono aprire altri discorsi ed interessanti riflessioni.

Se vi siete letti l'altro tread sui numeri (da continuare) vi ricorderete che per moltiplicare, così come per sommare, si tratta di contare, solo che contiamo con passi più ampi (o meno ampi) di uno.
Solo che ci sono passi semplici e passi meno semplici... quindi, andando alla ricerca dei metodi più convenenti, dovremo cercare di portare tutto a procedimenti semplici.

Bene, detto ciò vi domando una cosa: quale è secondo voi il numero più semplice di tutti da moltiplicare, tolto l'uno? Ovvero, per cosa vi viene più semplice moltiplicare?

Risponderei per dieci icon_mrgr: o multipli di dieci , così mi limito ad aggiungere uno zero alla cifra da moltiplicare , tolti uno e dieci & C......mi sembra più semplice moltiplicare un numero per due

Ok per il 10, ma per i suoi multipli non sono d'accordo: implicano moltiplicare anche per altro (es x30 devo fare anche per 3) e se 10 è il più semplice, allora gli altri sono più difficili.

Ok, aggiungi uno zero... e se si tratta, come per esempio di un prezzo, di un numero con la virgola (tipo 9,90)?

Azz...con gli euri sposto la virgola di un posto icon_mrgr: ...99

Bene. Gli altri sono d'accordo?

si ma anche moltiplicare per cinque..anche se alla fine è un per dieci diviso due... scusa.gif

Mi pare che tutti (in un insieme di due, due è tutti) siano d'accordo che la moltiplicazione per dieci è la più semplice. Ribadiamo che si tratta semplicemente di spostare verso la dx del numero l'ordine di grandezza... ossia aggiungere uno zero o spostare di un posto la virgola.
E' chiaro che per 100, 1000 eccetera vale la stessa cosa... tranne che gli zeri (o i posti) sono tanti quanti sono quelli del numero che moltiplichiamo (100 due zeri o due posti, 1000 tre, 10000 quattro e così via).

Il guaio è che per fare i calcoli veloci a mente (anche non veloci), anche se ci limitiamo alle moltiplicazioni, dobbiamo saper fare pure le divisioni. L'evidenza di ciò si renderà palese in seguito, ma può essere già intravista col suggerimento di Dafne per moltiplicare per 5: moltiplicare per 10 e dividere per 2 (o viceversa... spesso è meglio viceversa).
Insomma, per moltiplicare è assai meglio saper dividere.

Quindi vediamo la divisione per dieci: funziona esattamente come con la moltiplicazione... solo che gli zeri invece di aggiungerli vanno tolti e la virgola, ove necessaria (anche se non è presente potrebbe comparire) si sposta verso sx invece che verso dx.

Banali esempi:
35 x 10 = 350
34,72 x 10 = 347,2
0,044 x 1000 = 44
578000 : 10 = 57800
46,8 : 10 = 4,68
3,755 : 100 = 0,03755
4 : 1000 = 0,004


Detto ciò, anche se potrebbe essere evidente da se e anche se potremmo fare un altro fallimentare sondaggio, vi comunico che è assolutamente necessario, per prima cosa, imparare a moltiplicare e dividere per due... ossia fare doppi e mezzi.

Sapete farli da voi? Avete un sistema particolare?

Penso che difatti questo è il metodo che usiamo per risolvere a mente, in modo veloce, uno dei calcoli che facciamo più spesso, ovvero le percentuali (vedi il calcolo dell'iva :D)Beh... non so se ho capito che cosa intendi con sistema particolare, comunque quando devo fare una divisione in genere ne ho l'immagine grafica nella mente come se fosse scritta su un foglio. Quindi vedo quante volte sta il dividendo nel divisore e mi 'appunto' la cifra in un angolo della visuale aggiungendole via via.

Mi limitavo a doppi e mezzi. Quello che dici tu già implica saperli fare e saper usare anche altri numeri.

tabelline?
Il doppio di un numero è sempre due volte ogni cifra,,ma spesso è "automatico" ...come per 13 mi vien subito il 26.
Si complica appena con numeri tipo 18 dove il doppio di 8 presuppone che io mi ricordi di aggiungere un 1 all'1 della decina che raddoppia in due..quindi 36.

nonso.gif

Per le divisioni idem..se devo fare la metà prendo i numeri e li divido per due .. anche qui con cifre come 36 il 3 delle decine...uh ma che strano...ci faccio caso ora..com'è che moltiplicando per due inizio dalle unità e nella divisione dalle decine? :U

leggo.gif

E per 1888? (sia doppio che metà)

La metà e facile... 1800:2 fa 900 poi 88:2 fa 44, quindi viene 944.

Il doppio di 1888 è più difficile, un sistema che mi viene è arrotondare a 2000 di cui il doppio è 4000, e poi togliere due volte 112 che è la differenza tra 1888 e 2000 che moltiplicato per due fa 224 quindi togliere 224 da 4000 = 3776....

Se dovessi andare per ordine, invece, parto dalle unità (8x2) 16, poi le decine 80x2 = 160 + 16 di prima = 176, poi 800 x 2 = 1600 + 176 di prima = 1776, infine 1000 x 2 = 2000 + 1776 di prima = 3776....
questo secondo sistema mi sembra un filino più semplice dell'altro che suppone anche sottrazioni mentre questo solo addizioni.

Ecco... io avrei usato il tuo sistema per la metà anche per il doppio: 1800 x 2 fa 3600, 88 è 160+16... 3776

Ma soprattutto, se provate ad usare quella cosa del pensare i numeri ad una cifra alla volta (1888 non è milleottocentottantotto ma uno otto otto otto) fate subito se tenete conto giusto delle posizioni.

sto seguendo con attenzione questo argomento.

aspetto altri tuoi consigli Ray....

Benvenuto Piergio,

appena ho il tempo necessario porto avanti il discorso. se intanto vuoi dire qualcosa, sei il benvenuto.

:C: