L'espressione, con i dati che avete fornito, da come risultato -10/9 e non -10/3.

Quindi o avete scritto sbagliato oppure è sbagliato il risultato da ottenere (a volte i libri sbagliano di stampare)

Abbiamo scritto giusto, quindi il risultato del libro è sbagliato.
Siamo diventate bravine !!! :wow:
Grazie abbraccio:

p.s. Vi terrò aggiornati sull'esame di matematica. Come la spieghi tu è molto più facile ed è servito a chiarire alcuni punti oscuri.
Attendo le prossime lezioni.

:C:

oops... rileggendo mi sono accorta che ho dimenticato di riportare uno zero che stava sui nostri calcoli:

(390 - 105 - 260) : (-2 + 13 - 26) =
............39.................. 26

(+25/39) : (-15/26) = 25/39 x 26/15

errore basato sulla fretta di descrivere lo svolgimento.

Ciao

divisione
 

Riprendo il discorso grazie a Stella, anche se era fermo da un po', per introdurre la quarta delle operazioni base che si possono fare coi numeri.
E' notoriamente considerata la più difficile, sia da capire che da eseguire - ed in effetti per certi versi è così - ma è anche estremamente importante perchè, grazie ad essa, dai numeri che conosciamo ne vedremo nascere di nuovi, alcuni dei quali molto particolari e affascinanti.

Anche qui, come per le altre operazioni, vi chiedo di "dimenticare" per un attimo quello che vi hanno insegnato alle elementari e di cercare di vedere le cose da un punto di vista più generale, poi quelle cose dimenticate le recupereremo e le re-infileremo nel contesto... e vedrete che acquisteranno un senso diverso.

La divisione è un rapporto. (infatti si chiama così il risultato di questa operazione)

Come dice la parola, si tratta di una relazione. Praticamente si tratta di mettere in relazione tra di loro due numeri e vedere che rapporto ne esce.
Che relazione?
L'unica possibile... ovvero quella che riguarda la grandezza. Si tratta quindi, per la prima volta sinora, di vedere tra due numeri che relazione intercorre... quel "che" è qualitativo... quindi non solo se uno è più grande o meno dell'altro, ma anche quanto più grande e in che modo.

Visivamente si esprime molto bene questo mettere in rapporto, sistemando un numero sopra l'altro (con in mezzo una righetta, un "fratto", che indica la divisione)... ne nasce una frazione. Vediamo che succede.

Prendiamo i primi due numeri che conosciamo... uno e due, e mettiamoli in rapporto tra loro: otteniamo 1 su 2, stiamo mettendo in relazione l'uno col due (e non il due con l'uno, dovrei invertire l'ordine... in seguito vedremo cosa cambia e cosa accomuna).

Se vogliamo stabilire che rapporto c'è non ci troviamo in gravi difficoltà, perchè possiamo fare quello che abbiamo sempre fatto: contare per uno. Vediamo che per arrivare a due devo contare due volte (uno e due).
In questo caso possiamo usare l'uno (che sta sopra) come base di conto, ovvero come grandezza di camminata, e arriviamo perfettamente al due.
Sappiamo inoltre che per arrivarci ci servono due uni... quindi l'uno nel due sta due volte. (e non avanza nulla).

Per adesso mi fermo qui. Se siete riusciti (cosa difficilissima) a dimenticare per un attimo quel che avete probabilmente fissato fin da piccoli in voi sulla divisione, forse questa procedura che ho scritto vi ha fatto intuire qualcosa... (intuire in matematica è quasi l'unica cosa che conta)


In ogni caso anticipo che le cose cambiano, almeno apparentemente, se mettiamo in relazione allo stesso modo il 2 e il 3... ma se avete intuito...

:C:

Quello che mi viene ad intuito è che l'1 sta in tutti gli altri numeri le volte del numero stesso con cui si mette a confronto, nel 2 due volte, nel 3 tre 3 volte e così via, quindi il rapporto che ne deriva è dato dal numero con cui si mette in relazione, con saltini di 1 alla volta.

P.S. L'esame di mia figlia è andato bene, promossa !!!! :wow:

Uff lo sai che la matematica ($):bleah:però ci provo allora mi sembra che tu abbia detto che devo vedere quante volte il numero sopra si relaziona con quello sotto.
2
---
3
Se sopra ho il 2 e sotto il 3 questa volta dovrò relazionarmi con i due passi quindi il 2 sta nel 3 una volta con l'avanzo, se fossero passi ne faccio uno di 2 e poi uno di 1 e arrivo al 3.
No eh? ufff icon_mrgr:

Innanzitutto congratulazioni alla signorina. Ben fatto! fiori.gif

Adesso proviamo ad andare avanti seguendo l'intuizione di Stella (avremmo potuto prendere varie strade, ma tutte "portano a Roma") e vediamo quali considerazioni permette.

Innanzitutto vediamo che, con il procedimento visto da Stella, ovvero mettere l'uno sopra e i vari numeri sotto, si generano frazioni che hanno delle analogie con i numeri che si sono generati quando "sommavamo", ovvero contavamo per uno.
Come prima cosa salta agli occhi che, data l'infinità dei numeri prodotti con la somma, è producibile la stessa infinità di frazioni (ovvero un'infinità dello stesso ordine).
Questo porta lla conclusione, che approfondiremo in seguito intanto pigliatela come viene, che l'uno è infinitamente divisibile per il motivo stesso che i numenri sono infiniti.

Come ben vede Stella, queste frazioni che si generano hanno la caratteristica che l'uno sta nel numero di sotto tante volte quante indica il numero stesso.
Sottolineo ancora che l'uno, nel numero, sta un giusto numero di volte... non avanza nulla.
Quindi abbiamo una serie infinita di frazioni (1/2, 1/3, 1/4, 1/5, 1/6 eccetera) che esprimono il rapporto che l'uno ha coi vari altri numeri.

Questa caratteristica del "non avanza nulla" tuttavia si presenta anche in altre frazioni che non presentano l'uno sopra, ma altre cifre. Per esempio 2/6 o 3/15 o 7/42.
Queste frazioni presentano la caratteristica per la quale, se effettuiamo la stessa procedura di prima, ovvero contiamo a salti del numenro sopra fino al numero sotto, oltre a trovare "quante volte sta", non avanza nulla (per 2/6 3, per 3/15 5, per 7/42 6...).

Queste frazioni per cui "non avanza nulla" sono tutte ricondubili a quelle di prima, quella che hanno l'uno sopra.
Ovvero esprimono lo stesso rapporto (per 2/6 è lo stesso di 1/3, sta tre volte e così via).

Se due frazioni esprimono lo stesso rapporto sono equivalenti, ovvero valgono uguale, ovvero sono modalità diverse della stessa frazione.
Questo mostra facilmente, ribaltando la cosa, come lo stesso rapporto è esprimibile in infiniti modi diversi... questione che merita di essere meditata anche al di fuori dell'ambito matematico (come un sacco di altre).


PS: coloro che, nonostante tutto, persistono a ricordare quel che hanno imparato alle elementari, forse avranno notato che sto seguendo un iter esattamente opposto a quello diciamo canonico. Loro iniziano a dividere il grande per il piccolo (10:2 eccetera) mentre io sto iniziando a dividere il piccolo per il grande (1/3 eccetera)... questo accade perchè spesso, nel tentativo di semplificare le cose per i bambini, si incorre nel rischio di trascurare l'essenziale, finendo per complicare in modo enorme in seguito cose che prese dall'inizio le renderebbero palesi... ovvero si rischia di cristallizzare una parte a discapito del tutto e, quando si cerca di infilare un altro pezzo, tocca solvere quel che c'era ogni volta e ricoagulare... operazione alla quale si oppongono le resistenze di molti.
Invece uno sforzo magari maggiore all'inizio, che imprima la forma generale, poi rende agevole il riempimento via via con la sostanza.

Questa è ovviamente un'opinione personale, condivisibile o meno e pure OT, tuttavia la esprimo in quanto ritengo che lo studio del metodo (e qui mi rivolgo anche a chi insegna) sia addirittura più importante del contenuto e, anche se mi pare di vedere una certa inversione di tendenza o dei tentativi, la sottovalutazione del metodo ha portato per lungo tempo seri disagi alla scuola italiana e all'insegnamento in generale.

Griselda ha colto il problema... che non è un problema da poco.

A questo punto approfitto per dire un'altra cosa sulla faccenda del metodo, una cosa che gli psicologi hanno colto in poco tempo se vogliamo (meno di un secolo) e che gli insegnanti tendono a dimenticare... e cioè che "vale solo se ci si arriva da soli"... sta a chi sa guidare e suggerire.

Il problema che coglie Griselda trova un buon approccio in quello che stavo accennando prima... ovvero il tipo di rapporto che intercorre tra due numeri.
E' chiaro che il procedimento che abbiamo usato per 1/2, 1/3 e così via, con il 2/3 mette in crisi, proprio perchè il due nel tre non sta giusto.
Quindi la frazione esprimerà un rapporto che ancora non conosciamo, almeno apparentemente... e dunque?

Beh il suggerimento è di fare capo al "rapporto 1/3", dato che 2/3 può essere visto come 1/3 e 1/3...

(un "premio" a chi mette le cose insieme usando solo quello che abbiamo visto sinora... e sinora di procedure o operazioni, ne conosciamo una soltanto...)

dry.gif mi ci provo
2/3 equivalente a 1/3+1/3 ? (perchè fin'ora anche nella sottrazione o nella moltiplicazione mi pare che abbiamo solo sommato...)
e adesso? :U l'uno nel 3 ci stà 3 volte (bon però 1:3 non dà 3 ($) ..così come 1/2 cioè uno diviso due non dà due..com'è difficile dimenticare martello.: )
Uffa, è un numero più piccolo che ne deve contenere uno più grande e come si fà? Se mi rapporto all'uno di base quest'uno dev'essere diviso per le parti del più grande contando quelle del più piccolo
vabbuò, io già mi muovo a fatica tra destra e sinistra figuriamoci tra sotto e sopra...piango.gif
Attendo lumi icon_mrgr:

Fin qui eri andata benissimo... (anche se in realtà abbiamo solo contato, anche nella somma)


Purtroppo questa specie di paradosso è retaggio di quel che abbiamo imparato da piccoli.
Contenere? Chi ha mai parlato di contenere?

(sopra ho suggerito...)

Allora vediamo.

- - 2
----
- - - 3

1 1
--- + ---
3 3

se mi relaziono con l'1 se devo arrivare al 3 ho fatto un solo passo su tre che è la grandezza/lunghezza intera.
poi mi relaziono ancora con l'1 e faccio uguale sempre un passo. Se poi li sommo ho 2 passi su tre, per arrivare alla lunghezza intera me ne mancherebbe ancora 1.

Datemi una emoticon che suda prego.:U

Non prometto di usare solo quello che abbiamo visto sinora pero' ci provo...

il rapporto 2/3 può essere visto come 1/3 + 1/3... allora prendo 1/3 e noto che il 3 nell'1 non ci sta', pero' se fosse 10 ci starebbe 3 con il resto di 1.

Per identificare il salto di una decade metto la virgola(,) ovvero 0,3 (+1)

Rimane un 1 per completare la decade (3+3+3+1), a questo punto si considera quell'1 rimasto come se fosse una ulteriore decade cosi' si ottiene 0,33 ma rimane ancora un 1 da questo conteggio e cosi' all'infinito.
Assunto che ci fermiamo al secondo numero dopo la virgola (0,33) si effettua la somma (0,33 + 0,33 ovvero 33+33) come se non ci fosse la virgola e diventa 0,66.

Mi rendo conto che e' un ragionamento contaminato dagli insegnamenti scolastici... nonso.gif

Dunque, se sommo due volte 1/3 avrò 1 + 1 = 2/3 se sommo ancora 1 avrò 1 + 1 + 1 = 3/3 quindi fuori dal rapporto,
Quindi il rapporto 2/3 mi dice che una volta posso fare la somma fino a 2, ma due volte no...
ho sempre quell'1 che da una parte è di troppo, dall'altra mi manca...

si ma sopra hai scritto che
" Queste frazioni presentano la caratteristica per la quale, se effettuiamo la stessa procedura di prima, ovvero contiamo a salti del numenro sopra fino al numero sotto, oltre a trovare "quante volte sta", non avanza nulla (per 2/6 3, per 3/15 5, per 7/42 6...).

Queste frazioni per cui "non avanza nulla" sono tutte ricondubili a quelle di prima, quella che hanno l'uno sopra.
Ovvero esprimono lo stesso rapporto (per 2/6 è lo stesso di 1/3, sta tre volte e così via). "

ecco, quello che m'incasina è proprio questo, perchè è il due che deve stare nel sei quando è il sei che divide? Due diviso sei, devo capire quante volte stà il sei nel due, tantè che se faccio 40:8 non è il 40 che mi stà nell'otto ma il contrario..
questo è il retaggio si? martello.:

se due x tre mi dà sei perchè da zero salto verso il positivo (dx) della quantità del primo numero per le volte della seconda quando divido chè faccio? salto al rovescio verso sinistra? icon_mrgr: (ma che c'azzecca?)
se torno al nostro 1/3 +1/3 (e fin qui va bene anche se mi piacerebbe che ci spiegassi a stò punto perchè sommo solo sopra e non sotto diavolo.g: così mi rinchiudono a vita icon_mrgr: ) mi ritrovo con un uno diviso in tre fette e devo trovare il numero che delimiti le mie due.
mmm
mai sentito parlare di calcolatrici? boccaccia:
scherzo, sono io che sono asina fiori.gif

Si. Che differenza fa quale sta nell'altro? (la domanda non è retorica). Parliamo di rapporti...


Alla fin fine sono uscite cose interessanti e sarebbe bello andare a vedere da dove scaturiscono tutti i singoli ragionamenti... ognuno potrebbe veder molto di se da come complica e da come mescola. Per esempio Grey, pur di puntare al risultato, imbroglia tantissimo icon_mrgr: .

La risposta che ritengo migliore è quella di Stella... le cose sono spesso più facili di quello che possono sembrare (par che se si parla di matematica allora deve per forza essere difficile).

Abbiamo detto che 1/3 esprime un rapporto e che come tale possiamo pigliarlo per conto suo (come fosse un numero... è un numero). Quindi, semplicemente, invece di contare per uno, conto per un terzo (così come nella moltiplicazione contavo per tre, cinque eccetera).
In questo senso la divisione è l'opposto della moltiplicazione e in questo senso sono partito al contrario (incasinando Daf).

La vedete sta cosa?

Forse, si chiarifica un po' la cosa appena detta se riprendiamo la faccenda delle direzioni.

L'avanti e l'indietro nel contare non è dato dalla moltiplicazione o dalla divisione (per e diviso) ma da somma e sottrazione... vi ricordate no? Se ho + conto verso destra, se ho - verso sinistra.

Infatti nella moltiplicazione posso contare sia verso dx che verso sx, a seconda se moltiplico numeri positivi o negativi... la differenza è che moltiplicando conto per multipli di 1 invece che per 1.

Nella divisione - opposto della moltiplicazione - conto sempre sia di qua che di la a seconda del segno (+ o -) del numero che sto usando, solo che conto per frazioni di uno invece che per multipli... ovvero per numeri più piccoli invece che più grandi.

La cosa dei numeri più piccoli di uno nasce adesso, con la divisione. Prima avevamo solo numeri più grandi... che si generavano dalla somma contando per 1.
Adesso, grazie alle relazioni (rapporti) tra l'uno e i numeri che esso fa nascere dal contare, si generano numeri più piccoli che, a loro volta, possono essere usati come base per contare. Dividendo.

Uhm...vediamo se alle 4.48 di notte la mia intuizione è sveglia oppure è gia andata a dormire... icon_mrgr:

L'unica operazione che conosciamo è contare, e fino ad ora abbiamo contato solo per numeri interi naturali muovendoci verso DX per sommare e verso SX per sottrarre a step di 1, e a step di TOT per moltiplicare ma abbiamo usato sempre ed esclusivamente dei numeri interi naturali. L'idea di contare per frazioni credo costringa il buon Ray ad introdurci qualcosa di nuovo, che potrebbe essere l'idea di numeri razionali? ovvero un sottoinsieme dei numeri che abbiamo utilizzato fino ad ora...

Infatti 1/3 ci restituirebbe un terzo di uno (0,333...) che è un numero che ha delle particolarità che fino ad ora non abbiamo visto ad esempio è periodico e illimitato ovvero dopo la virgola continua sempre con il 3 e potenzialmente non si ferma mai.

Inoltre una cosa che mi viene da notare è che: supponiamo che ho una torta e voglio dividerla in tre parti mi accorgo che avanza uno spicchietto (0,1) a quel punto divido quello spicchietto in altre tre parti ma continua ad avanzarmi un altro spicchietto (0,01) e cosi via...ora se volessi ricomporre la mia torta dovrei moltiplicarla per 3 e sommargli l'avanzo, mentre nel caso in cui non ci fossero stati avanzi per ritornare al numeratore di partenza mi sarebbe bastato fare l'operazione inversa.

Quindi come già anticipato da Ray devo imparare a muovermi di step che non sono 1 o suoi multipli ma che sono dei sottomultipli...


Ho vinto qualche cosa?icon_mrgr:(tieni conto dell'orario):C:abbraccio:

Poi ci torniamo con calma e riprendiamo il tread. Intanto, partendo da quello che fai giustamente notare (in pratica dici che una torta non si può dividere esattamente per tre), ti pongo un problema: e se la torta pesa 900 gr? Si pone un paradosso?

Comunque si, dobbiamo parlare di numeri razionali...

Il paradosso, sarebbe che essendo una la torta non sarebbe perfetto il risultato ottenuto diviso 3, mentre se ho il modo di contarla in un altro modo (misurarla con la bilancia) e se pesa 900 g a quel punto non sarebbe più 1/3 ma 900/3.

abbraccio:

EDIT: come hai già detto con 1/3 dobbiamo imparare i numeri compresi tra 0 e 1, che fino ad ora non abbiamo ancora studiato.

Esatto, hai notato bene, se facessi realmente quest'operazione ti troveresti a dividere fino all'infinito senza arrivare mai a nulla, proprio perchè tu ti stai muovendo su una linea dove ogni numero corrisponde ad un punto, e i punti della linea non hanno una dimensione, potremmo dire che sono un concetto astratto, ma allo stesso tempo funzionale.
Proprio per il fatto che un punto non ha dimensioni, non sempre è possibile applicare questo tipo di modello matematico alle cose fisiche, altrimenti si avrebbero spesso dei paradossi.
OT: il problema è stato risolto con l'introduzione di un altro modello matematico che è l'analisi infinitesimale, praticamente per dirla in breve al posto del punto che non ha dimensioni, si introduce l'infinitesimo, logicamente non possiamo rappresentare nenche l'infinitesimo perchè è infinitamente piccolo, però possiamo dire che è una sua dimensione e possiamo utilizzarlo per risolvere i problemi di tipo fisico. OT