Su Zanichelli :
esigere è sinonimo di pretendere.
- richiedere con forza, pretendere:
- riscuotere
Pretendere è sinonimo di
- richiedere con fermezza, esigere
- volere con prepotenza
- sostenere a torto, voler far credere
- avere la presunzione di
Entrambe le parole sono una sinonimo dell'altra, in ciò che li distingue invece sembra che il pretendere, a parte il punto primo, abbia valore negativo negli altri tre punti.
Sembrerebbe anche a me che esigere abbia più a che fare con l'autorità, mentre pretendere con l'essere prepotente.