Citazione:
Originalmente inviato da Kael
Questo apre anche un altro punto...
Si sa che in una retta, per quanto corta essa sia, ad esempio fra 1 e 2, ci sono sempre infiniti punti (1,1 , 1,01 , 1,002 etc) e questo crea un altro paradosso: com'è possibile che esistano diverse grandezze di insiemi infiniti, se per "infinito" consideriamo il massimo raggiungibile e quindi non espandibile?
Ad esempio, se fra 1 e 2 esistono infiniti punti... fra 1 e 3 ce ne sono il doppio...
Quindi si "raddoppia" l'infinito? E come si fa?
|
Su sta cosa Leibniz è andato fuori di testa... ha risolto abbastanza (con la storia dei gradi di infinito e degli infinitesimi - magari ne facciamo un post) ma non del tutto, come lui stesso ammette.
Uno dei problemi sta proprio nella parola usata: in-finito.
Se, come lo intende Kael, è in qualche modo "il massimo" allora salta tutto e vale il paradosso (non si può raddoppiare), se invece si ammette una certa relatività di infiniti (quindi infinito ma non assoluto) allora la cosa può anche funzionare.
Nel caso della retta, il fatto che essa contenga infiniti punti e il fatto (apparentemente contradditorio) per il quale anche un qualsiasi suo segmento (tipo 1 metro o 1 cm) anche ne contenga infiniti dipende dall'
incommensurabilità (impossibilità alla misurazione) del punto rispetto alla retta. Impossibilità che deriva dal fatto che punto e retta si trovano su due diversi
ordini di grandezza.
Si potrebbe fare un po' di ordine se si facesse ordine nelle parole, per prima cosa.
Si dice che la retta è infinita. Ma non è così, se diciamo che infinito=assoluto. La retta è finita eccome dato che, per esempio, non contiene alcun bicchiere nè contiene Kael. Tuttavia essa contiene un numero
illimitato di punti. Ovvero i limiti (leggi) che determinano (delimitano) il suo campo (piano) di esistenza NON comprende i punti. Quindi essa è limitata per molte cose, ma non per i punti, per i queli è invece illimitata. Questa illimitatezza deriva direttamente dalla definizione stessa di retta e di punto, la quale deriva dal concetto stesso di
dimensione. Quindi, per esempio un piano (due dimensioni) non potrà essere limitato per quanto riguarda le rette (1 dimensione) e infatti ne può contenere un numero illimitato. Stessa cosa, analogamente, per retta e punto.
Va da se che qualsiasi porzione che abbia esistenza in una dimensione (metro o millimetro che sia) manterrà questa caratteristica di non essere limitata per quanto riguarda la dimesione precedente (quella dei punti) e quindi ne può contenere un numero illimitato. Così come qualsiasi porzione di piano (ettaro o cm quadrato) può contenere un numero illimitato di rette (segmenti in sto caso).
A questo punto risulta chiaro che l'infinito non raddoppia se raddoppia la porzione di retta che considero. Questo perchè l'infinito in questione non è un numero, ma la rappresentazione della trascendenza ad una detta legge.
Il punto in cui sorge il problema, evidenziato da Leibniz, è quello che troviamo quando suddividiamo indefinitamente (all'infinito per capirci, ma non è corretto) quella porzione di retta. Al punto vero e proprio non si arriva mai, perchè dovrei dividere un numero infinito di volte, cosa impossibile. Infatti si parla, in matematica, di limite (che è
esterno alla funzione).
Bon, parlo troppo... ci torniamo però...