Andando un po' avanti col discorso cerchrò di mettere ordine a quanto detto finora... anche se le cose possono essere un po' sparpagliate, credo si vedrà come pian piano che procediamo tutto si incastra.
Le operazioni e gli insiemi di numenri, come accennato, sono interconnessi al punto che è difficile separarli in modo netto... anche se a scuola normalmente vengono trattati come fossero staccati. Spero che andando avanti la cosa si chiarisca man mano.
Il numero uno e la pratica del contare generano tutti gli altri numeri (ricordarsi che "contare", dato che abbiamo solo l'uno è camminare a passi di uno) e, siccome posso camminare senza sosta e senza limiti, ecco che i numeri che si generano sono infiniti. Questi numeri che si generano hanno delle proprietà... per adesso, sappiamo per logica, che essi "distano" uno dal numero precedente. La cosa deriva dal fatto che facciamo passi di uno. Quindi abbiamo il 2 il 3 ecc. fino all'inifinito (che non è un numero).
Anche se sono infiniti possiamo prenderli, almeno concettualmente, tutti assieme. Ovvero possiamo considerare l'insieme dei numeri che, partendo dall'uno, vengono generati dal contare per uno.
Questo insieme si chiama "insieme dei numeri naturali" e in matematica si indica con la lettera N.
Qui si innesca un primo paradosso apparente, visto il quale meglio si spiega la faccenda degli insiemi. Un insieme è una cosa diciamo finita però può contenere infiniti oggetti. Come si spiega la cosa?
E' un po' come per la cosa della "gattità"... l'insieme dei gatti. Se io considero l'insieme di tutti i possibili gatti, certamente gli elementi che conterrà, pur trattandosi di soli gatti, saranno infiniti.
In altri termini l'insieme è qualcosa che si pone ad un livello di manifestazione precedente di quello degli elementi che contiene... un po' come essere e personalità. Ciò che è potenziale su un piano è infinitamente manifesto sul piano "sotto".
Semplificando un insieme è definito (anzi è) dalle caratteristiche che lo determinano. Quindi io posso formare facilmente insiemi che contengono infiniti elementi... come i numeri. In effetti posso contare i numeri all'infinito, non solo, ma contandoli genererò un altro insieme di numeri (quelli che indicano i numenri che conto) e poi posso contare quelli nuovi e così via... all'infinito. L'uno genera non solo infinito ma infiniti infinito...
Questo insieme N può essere rappresentato da una semiretta. Una semiretta è "mezza retta"... ovvero una linea che parte da un punto (origine) e, data una direzione e un verso (ricordate i vettori?) va avanti all'infinito.
Normalmente, per convenzione, l'insieme N si indica con una semiretta orizzontale (direzione) e che va verso destra (verso). Quindi in fondo a sx abbiamo il punto uno e, equidistanti verso destra, gli altri numeri, via via più grandi (se lo fate su un foglio a quadretti è chiarissimo... molto più che a dirsi, magari metto un immaginetta o chi vuole).
Se a questo insieme aggiungiamo lo zero, esso diventa la nuova origine, in quanto dobbiamo metterlo a sx dell'uno e quindi allungare la semiretta di uno spazio. Questo insieme si indica sempre con la N ma con un piccolo zero vicino, a specificare che si sta considerando l'insieme di numeri naturali e lo zero.
Come risulta chiaro questo insieme, dato che è generato dalla somma (contare verso dx di uno in uno) permette qualsiasi somma. Non solo, ma permette anche qualsiasi moltiplicazione... infatti posso contare anche a salti (di due di tre di cinque ecc), senza generare altri numeri (quindi restando in N).
Invece se mi metto a contare in altri modi, per esempio verso sinistra ma sempre di uno (sottrazione) finisce che genero altri numenri che non sono compresi nell'insieme... oppure che non posso sempre operare in quel modo.
Vedremo che è proprio così che si formano gli altri tipi di numeri (relativi, razionali ecc)... contando in modi diversi e uscendo dall'insieme (e quindi allargandolo).
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