Non ho letto il libro in questione, ma per permettere a chiunque di capire i termini della questione provo a spiegarla nel modo più semplice possibile, anche se un minimo di formalismo matematico è necessario.
All'inizio del XIII secolo il matematico pisano Leonardo Fibonacci, per costruire la serie che ne ha preso il nome, si chiese come una famiglia di conigli si sarebbe potuta moltiplicare, non in circostanze reali ma supponendo che
- i conigli fossero in grado di riprodursi all'età di un mese;
- la gestazione durasse 1 mese e la F rimanesse subito di nuovo in cinta;
- ad ogni parto nascesse sempre una nuova coppia di conigli (M e F);
- i conigli non morissero mai e si moltiplicassero all'infinito.
Sia n(1) il numero di coppie totali di conigli dopo 1 mese, n(2) il numero di coppie totali di conigli dopo 2 mesi, n(3) il numero di coppie totali di conigli dopo 3 mesi e così via...
Una prima coppia C1 di conigli (M e F) dopo 1 mese [n(1)= 1 coppia] può riprodursi e dopo 2 mesi generare una seconda coppia C2 [n(2)= 2 coppie].
Dopo 3 mesi avremo una nuova coppia C3 generata da C1 più la coppia C2 che si starà riproducendo per la prima volta [n(3)= 3 coppie].
Dopo 4 mesi avremo la coppia C1 più la nuova coppia C4 (generata da C1), C2 più la nuova coppia C5 (generata da C2), più la coppia C3 che si starà riproducendo per la prima volta [n(4)= 5 coppie].
Dopo 5 mesi avremo la coppia C1 più la nuova coppia C6 (generata da C1), C2 più la nuova coppia C7 (generata da C2), C3 più la nuova coppia C8 (generata da C3), più le coppia C4 e C5 che si staranno riproducendo per la prima volta [n(5)= 8 coppie].
E così via...
Cosiderato che in principio - cioè al momento n(0) - esisteva già la prima coppia C1, quello che abbiamo fin qui visto si può così riassumere:
- in principio 1 coppia
- dopo un mese sempre la stessa coppia
- dopo 2 mesi 2 coppie
- dopo 3 mesi 3 coppie
- dopo 4 mesi 5 coppie
- dopo 5 mesi 8 coppie
e continuando con lo stesso ragionamento vedremmo che
- dopo 6 mesi 13 coppie
- dopo 7 mesi 21 coppie
- dopo 8 mesi 34 coppie...
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 sono appunto i primi nove termini della cosiddetta "serie di Fibonacci" che continua naturalmente all'infinito
55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765 ecc.
Cosa c'entra Fibonacci con la sezione aurea?
Dividendo ogni termine della serie di Fibonacci per quello precedente si converge (all'infinito) - oscillando ora in difetto ora in eccesso sempre con meno approsimazione - verso il numero di Fibonacci Ø - circa 1,618 - ovvero proprio la magica proporzione della sezione aurea!
1/1=1
2/1=2
3/2=1,5;
8/5=1,667
13/8=1,625
21/13=1,615
34/21=1,619
In termini matematici si enuncierebbe così: il limite del rapporto dei termini della serie di Fibonacci n(N+1)/n(N) per N che tende all'infinito è pari alla sezione aurea: 1,6180339887...
I numeri della serie di Fibonacci e la sezione aurea sono il riflesso di un'unica meravigliosa armonia naturale (potremmo dire "pitagorica") che troviamo nella spirale (aurea) del nautilo, nella ramificazione delle piante, nelle inflorescenze (il numero di petali in una corolla appartiene di solito alla serie di Fibonacci), nelle ossa delle articolazioni ecc... e in generale in tutti gli organismi viventi.
La sezione aurea la troviamo anche nella forma dei cicloni e delle galassie, persino nella doppia elica del DNA.
In termini geometrici la sezione aurea è quella proporzione che divide un segmento AB in un segmento AM (minore) e un segmento MB (maggiore) in modo tale che il rapporto tra AB e MB sia identico a quello tra MB e AM ...
In termini esoterici potremmo tradurlo nel "come in alto così in basso".
Pensando al concetto di ologramma o a quello di frattale potremmo tradurlo in "il tutto in ogni parte".
Tornando alla geometria euclidea, se poniamo AB=1 e MB=x allora AM=1-x
dunque AB/MB=MB/AM diventa 1/x = x/(1-x)
equazione di secondo grado che ha come unica soluzione x=0,618
Il numero Ø di Fibonacci (o sezione aurea o numero di Fidia) è pari a 1,618 che è appunto 1/x e pure (altra meraviglia della proporzione aurea) 1+x.
Analogamente 1/Ø =Ø-1=0,618.
Le curiosità sulla sezione aurea sono davvero infinite.
Il lato di un pentagono regolare, ad esempio, è la sezione aurea di una sua diagonale (quelle che formano il pentacolo) e il punto d' intersezione tra due diagonali divide ciascuna di esse in due segmenti che stanno tra loro in rapporto aureo.
Fidia usò la sezione aurea nelle misure del Partenone e altrettanto fecero i costruttori delle piramidi della piana di Giza.
La forma degli strumenti musicali classici (il violino ad esempio) fa riferimento alla sezione aurea.
La struttura di molte partiture musicali che suonano istintivamente "armoniose" rispecchia la sezione aurea... sarà perchè anche la coclea dell'orecchio umano ha la forma di una spirale aurea!
Grazie Ermopoli, per spiegarmi bene (spero!) ho afferrato la questione molto meglio di come avessi fatto finora.
