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Vecchio 09-10-2007, 23.14.29   #1
Ray
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Predefinito Matematica 2 - la teoria degli insiemi

A rieccoci.

Nella mia testa questo tread vuole essere un compendio e un approfondimento dell'altro, l'occasione di permettere a tutti di comprendere concetti utili anche per altri "nostri" discorsi e un luogo in più dove liberarci si farraginosi concetti malamente assimilati nel corso della nostra carriera scolastica (non per nostra volontà) e acquisirne di più chiari.
L'altro continuerà cercando di restare più possibile in tema, nonostante i nostri ultimi voli pindarici.

A questo proposito raccomando a me stesso di restare più possibile con i piedi per terra e quindi di dare scarso rilievo (in questo specifico tread) ai tentativi di svolazzo. Questa raccomandazione mi può essere rivoltata contro in qualsiasi momento... quindi considererò un'aggressione ogni vostro tentativo di tentarmi con le vostre irresistibili, meravigliose intuizioni.

Scherzi a parte, dite pure quel che volete... intelligenza è soprattutto capacità di vedere connessioni... solo limitiamoci qui ad accenni. Invece, se troviamo qualcosa di interessante da esplorare, facciamoci un tread... come dire: mettiamoci nei panni di chi legge (almeno un po').

Veniamo all'argomento. La teoria degli insiemi viene attualmente usata per introdurre la matematica sin dalle elementari e, in ogni scuola di goni ordiene grado che preveda lo studio della matematica, è il primo argomento considerato. Questo ha un motivo, anzi ne ha vari, nonostante la scarsa rilevanza che molti insegnanti danno a questa disciplina, per lo più sbarazzandosene in pochi sparuti accenni.

Uno dei motivi della basilarità di questa teoria lo abbiamo potuto intuire nell'altro tread. La nozione di insieme è strettamente collegata a quella di numero... non solo, in un certo modo si può dire che la genera.

Come nell'altro caso vedremo che i concetti sono pochi e anche che, capiti a fondo quelli iniziali per nulla banali o facili, il resto viene quasi da se. Il primo concetto che vedremo (nel prossimo post) è proprio quello di insieme... il più difficile sia da capire che da esporre. Quindi cercheremo assieme di renderlo più chiaro possibile prima di proseguire (anche proseguendo a volte si chiarifica) e grazie ad esso e a quello che ne deriverà si capirà meglio e diversamente anche le cose che ci sono dall'altra parte.

Bon, a presto su questi schermi.
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Vecchio 11-10-2007, 23.40.36   #2
Ray
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Predefinito Il concetto di insieme

Se vi capitasse, per una serie concomitante di sfortunati eventi, di mettere le mani su un testo di matematica per le scuole elementari/medie/superiori, salvo rare eccezioni, scoprireste che il concetto di insieme viene liquidato in poche righe senza alcuna spiegazione che possa definirsi tale.

Il motivo che ci vedo io è che spiegare la nozione di insieme significa impelagarsi in un terreno parecchio paludoso e ritrovarsi impantanati nelle prime pagine di un libro di solito nuoce all'autostima di chi lo scrive. Quindi di solito ci si limita a dire che è un concetto "primitivo"... intendendo noto a tutti e da tutti comprensibile. Chiaramente costoro, nella loro ingenua innocenza, non si rendono minimamente conto che concetti come "concetto primitivo" li impantanerebbero ancora di più se solo lavorassero in una classe dove sporadicamente prende indirizzo la curiosità. Ve li vedete dei prof. di matematica a parlare di nozioni mentali erditarie o chissà che altro trovino necessario inventare per sostenere quel "noto a tutti e da tutti comprensibile"?



In ogni caso, noi che siamo esploratori e non abbiamo paura di sporcarci i pantaloni, cerchiamo di andare a dare un'occhiata più da vicino a questo concetto.

A discapito del nome, o forse proprio per esso, l'insieme nasce dalla partizione (altro che primitivo). Se ci pensate un attimo è abbastanza ovvio... per raccogliere elementi di un certo tipo devo avere a disposizione la varietà, il molteplice.

In linea di massima un insieme è una raccolta di elementi "della stessa natura", ovvero che hanno qualcosa di basilare in comune. Ricordate la facenda dei gatti e della gattità? C'è qualcosa di impalpabile che accomuna tutte quelle bestiole che hanno certe caratteristiche (che se enumero o fallisco o non identifico solo gatti) che fan si che le chiamo tutte "gatto".

Ecco, questo è un primo elemento di discussione e riflessione. Sono le caratteristiche ad accomunare i gatti o viceversa? So che forse non si capisce... la metto giù dall'altra parte: se io mi baso su caratteristiche posso anche dire, per esempio, cosa differenzia un gatto da un altro... c'è il rischio che sta cosa delle caratteristiche sia fuoriviante.

In realtà accade più o meno questo: da piccolo imparo che quella bestiola li (la prima che vedo) si chiama gatto. Poi, se sono abbastanza grande da fare certe associazioni, quando vedo un altro gatto, anche se diverso da quello, chiamo gatto anche lui. Ricevo gratificazione da chi mi ascolta e fisso la nozione di gatto. Da quel momento in poi SO cosa è un gatto, anche se non so spiegarlo ne agli altri ne a me stesso. In poche parole colgo la gattità e questo mi permette da quel momento di non sbagliarmi più per cose come colore del manto, forma del muso ecc... se vedo un gatto so che è un gatto.

Se so cosa è un gatto, allora posso pensare l'insieme "gatti", altrimenti non posso.

Ma come posso cogliere la gattità se prima non separo, nel mio panorama che ho davanti, il gatto da tutti gli altri oggetti? Se percepissi tutto il panorama come una cosa sola... non ci sarebbe alcun gatto... menchemeno alcun insieme di gatti.

C'è una parte di noi che separa (gatto da albero) e un'altra che grazie al lavoro della prima, coglie la gattità.


Lascio a voi... non che il concetto sia tutto qua, anzi.

PS: so che questa può non sembrare matematica... invece affermo che questa è matematica... è l'altra, quella a cui siamo abituati, che a me sembra matematica assai poco...
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Vecchio 11-10-2007, 23.46.10   #3
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Ecco, questo è un primo elemento di discussione e riflessione. Sono le caratteristiche ad accomunare i gatti o viceversa? So che forse non si capisce... la metto giù dall'altra parte: se io mi baso su caratteristiche posso anche dire, per esempio, cosa differenzia un gatto da un altro... c'è il rischio che sta cosa delle caratteristiche sia fuoriviante.

In realtà accade più o meno questo: da piccolo imparo che quella bestiola li (la prima che vedo) si chiama gatto. Poi, se sono abbastanza grande da fare certe associazioni, quando vedo un altro gatto, anche se diverso da quello, chiamo gatto anche lui. Ricevo gratificazione da chi mi ascolta e fisso la nozione di gatto. Da quel momento in poi SO cosa è un gatto, anche se non so spiegarlo ne agli altri ne a me stesso. In poche parole colgo la gattità e questo mi permette da quel momento di non sbagliarmi più per cose come colore del manto, forma del muso ecc... se vedo un gatto so che è un gatto.

Preciso ancora una cosa poi vi lascio in pace per un po'.

Il catalogare le caratteristiche dei gatti, azione tipica dell'impostazione scientifica moderna, avviene e può avvenire solo DOPO che so cos'è un gatto. Infatti ho già la nozione di gatto e grazie ad essa me lo studio... con lo scopo di capire cosa è un gatto (ma si può?)

Questo è il patetico tentativo della parte di noi che fa le partizioni di fare il lavoro dell'altra parte di noi, quella che coglie la gattità. Il problema dell'umanità di oggi.
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Vecchio 12-10-2007, 11.29.49   #4
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A discapito del nome, o forse proprio per esso, l'insieme nasce dalla partizione (altro che primitivo). Se ci pensate un attimo è abbastanza ovvio... per raccogliere elementi di un certo tipo devo avere a disposizione la varietà, il molteplice.

In linea di massima un insieme è una raccolta di elementi "della stessa natura", ovvero che hanno qualcosa di basilare in comune. Ricordate la facenda dei gatti e della gattità? C'è qualcosa di impalpabile che accomuna tutte quelle bestiole che hanno certe caratteristiche (che se enumero o fallisco o non identifico solo gatti) che fan si che le chiamo tutte "gatto".

Ecco, questo è un primo elemento di discussione e riflessione. Sono le caratteristiche ad accomunare i gatti o viceversa? So che forse non si capisce... la metto giù dall'altra parte: se io mi baso su caratteristiche posso anche dire, per esempio, cosa differenzia un gatto da un altro... c'è il rischio che sta cosa delle caratteristiche sia fuoriviante.

In realtà accade più o meno questo: da piccolo imparo che quella bestiola li (la prima che vedo) si chiama gatto. Poi, se sono abbastanza grande da fare certe associazioni, quando vedo un altro gatto, anche se diverso da quello, chiamo gatto anche lui. Ricevo gratificazione da chi mi ascolta e fisso la nozione di gatto. Da quel momento in poi SO cosa è un gatto, anche se non so spiegarlo ne agli altri ne a me stesso. In poche parole colgo la gattità e questo mi permette da quel momento di non sbagliarmi più per cose come colore del manto, forma del muso ecc... se vedo un gatto so che è un gatto.

Se so cosa è un gatto, allora posso pensare l'insieme "gatti", altrimenti non posso.

Ma come posso cogliere la gattità se prima non separo, nel mio panorama che ho davanti, il gatto da tutti gli altri oggetti? Se percepissi tutto il panorama come una cosa sola... non ci sarebbe alcun gatto... menchemeno alcun insieme di gatti.

C'è una parte di noi che separa (gatto da albero) e un'altra che grazie al lavoro della prima, coglie la gattità.
Per comprendere cosa è un gatto, la prima cosa che imparo è che il gatto è un animale con determinate caratteristiche (due orecchie a punta, il corpo coperto da un manto di pelo, la coda, per esprimersi miagola, i baffi , ha una certa dimensione etc). da quel momento, quando ho visto e conosciuto per la prima volta un gatto, quando ne vedrò un altro, anche se non sarà identico all'altro avrà le stesse caratteristiche base, poi potrà avere il pelo più lungo, essere un po' più grande, avere la coda più pelosa dell'altro, ma una vilta che l'idea del gatto è in me , qualsiasi gatto che vedrò potrò associarlo alla mia prima idea di gatto, allo stesso modo, potrò per esempio separare l'idea di gatto da quello di tigre (avevamo parlato di analogie del gatto con la tigre qui)
Ovvero, anche se la tigre somiglia al gatto, mi rendo conto che non è un gatto fosse anche solo per le dimensioni...

Quindi è l'idea di base che ci permette poi di cogliere analogie (altri gatti) e differenze sostanziali (la tigre, l'albero etc)

Nel momento in cui ho l'idea di gatto, a quel punto, posso separarlo da tutto il resto, ed ecco che avrò l'insieme gatto, separato da un albero, da una tigre o da che altro.

Per riconoscere un insieme ho bisogno di poterlo separare dal resto (separare per poi unire..)



(concordo sulla prima parte del tuo post Ray, ai miei tempi, mi fu detto che il concetto di insieme era inutile, ormai superato, non ho mai lavorato a scuola con gli insiemi )
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Vecchio 12-10-2007, 13.38.44   #5
turaz
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il separare serve se utilizzato al fine di comprendere e non ci si "identifica" in esso.
ossia conosco cosa è la gattità, osservo un gatto singolo (separo) e colgo altre caratteristiche che prima mi erano sfuggite, le aggiungo alla mia "base" e continuo nell'osservazione degli altri gatti.
a quel punto ho una "Massa" di informazioni che formano un insieme "gattità" costituito da tanti "pezzi" di gatti singoli che mi hanno permesso di ricavarle.

se invece pensassi che l'unico gatto che ho analizzato mi dia già tutte le informazioni sui gatti...finirei per identificare la "gattità" solo con lui e probabilmente tralascerei notevoli informazioni.

mi sa che qui se si va a ritroso entriamo in campi "platonici"...))) (mondo delle idee)
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Vecchio 12-10-2007, 14.37.49   #6
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Ray ha scritto
C'è una parte di noi che separa (gatto da albero) e un'altra che grazie al lavoro della prima, coglie la gattità.


Per cui ritornando alla matematica c'è prima l'idea di numero che solitamente ci viene inculcata...se conosco 1 e conosco il 2 riesco a stabilire che sono diversi e quindi posso creare degli insiemi...
Probabile OT
Chissà cosa saremmo oggi se nessuno ci avesse insegnato a separare?...avremmo avuto un unico grande insieme che conteneva tutto...mi viene da pensare che la matematica ci fa dividere ciò che probabilmente sarebbe dovuto essere considerato un insieme unico?

Ultima modifica di cassandra : 12-10-2007 alle ore 14.42.07.
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Vecchio 12-10-2007, 14.40.44   #7
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dividere serve per "conoscere nel dettaglio" qualcosa che in teoria è "unito".
pensa ad esempio al corpo umano
se tu analizzi singolarmente ogni parte puoi conoscerne meglio le funzionalità ma sempre tenendo presente che fa parte di un qualcosa di più grande di lui che da un altro punto di osservazione è unito.

ecco spostando questo all'infinito (sia nel grande sia nel piccolo) penso renda l'idea
pensando all'uomo... ad esempio (inteso come individuo) tu osservando un singolo uomo puoi conoscere meglio determinati dettagli di una certa personalità tenendo presente cmq che si "incastona" in un insieme (umanità)
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Vecchio 12-10-2007, 14.47.56   #8
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Vecchio 14-10-2007, 11.19.51   #9
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Il catalogare le caratteristiche dei gatti, azione tipica dell'impostazione scientifica moderna, avviene e può avvenire solo DOPO che so cos'è un gatto. Infatti ho già la nozione di gatto e grazie ad essa me lo studio... con lo scopo di capire cosa è un gatto (ma si può?)

Questo è il patetico tentativo della parte di noi che fa le partizioni di fare il lavoro dell'altra parte di noi, quella che coglie la gattità. Il problema dell'umanità di oggi.

E' vero. Anche un bambino piccolo "sa" che cos'è un gatto perchè nella sua mente ha colto quelle caratteristiche che fanno di un gatto un gatto e se ne vede uno diverso ma con le stesse caratteristiche inconfondibili sa che anche quello è un altro gatto... e così via per tutti i gatti che vedrà.... e se qualcuno gli chiede che cos'è un gatto, imiterà quelle caratteristiche gattesche che la sua mente associa al gatto.
Quindi senza nessuno sforzo la sua mente ha già unito tutti gli ipotetici gatti.... in un gruppo distinto dagli altri animali...

La stessa cosa se vede un cane.... se anche il cane ha quattro zampe, le orecchie e la coda, sa che quello non è un gatto.... distingue la differenza fondamentale senza sforzo, unisce e separa...
Quindi direi che basta cogliere l'unicità che è uguale per tutti i componenti dello stesso gruppo se pur di razze diverse, a distribuire mentalmente gatti con gatti e cani con cani automaticamente e senza rischio di sbagliare.
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Vecchio 15-10-2007, 10.43.45   #10
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Il catalogare le caratteristiche dei gatti, azione tipica dell'impostazione scientifica moderna, avviene e può avvenire solo DOPO che so cos'è un gatto. Infatti ho già la nozione di gatto e grazie ad essa me lo studio... con lo scopo di capire cosa è un gatto (ma si può?)

Questo è il patetico tentativo della parte di noi che fa le partizioni di fare il lavoro dell'altra parte di noi, quella che coglie la gattità. Il problema dell'umanità di oggi.
Forse totalmente OT ma mi viene in mente un articolo che ho letto su internet sui due emisferi del cervello, andva al di là della generale definizione che una metà è "artistico-intuitiva" e l'altra "espressivo-razionale", descrivevano i due emisferi come entrambi razionali solo che da un lato si genera un pensiero sintetico, dall'altro un pensiero analitico. In pratica se con mezzo cervello vedo un tot di cerchietti, e di questi cerchietti vedo la misura, il colore la posizione ecc con l'altro emisfero riesco a cogliere che tutti quei cerchietti insieme sono messi a forma di fiore...analisi e sintesi appunto..
Ci sta?
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Vecchio 15-10-2007, 11.42.25   #11
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Forse totalmente OT ma mi viene in mente un articolo che ho letto su internet sui due emisferi del cervello, andva al di là della generale definizione che una metà è "artistico-intuitiva" e l'altra "espressivo-razionale", descrivevano i due emisferi come entrambi razionali solo che da un lato si genera un pensiero sintetico, dall'altro un pensiero analitico. In pratica se con mezzo cervello vedo un tot di cerchietti, e di questi cerchietti vedo la misura, il colore la posizione ecc con l'altro emisfero riesco a cogliere che tutti quei cerchietti insieme sono messi a forma di fiore...analisi e sintesi appunto..
Ci sta?
Riprendo da qui, ma mi pare da tutte le risposte che fin qua ci siamo capiti, quindi un po' avanti possiamo provare ad andare.

Non è OT a mio avviso questo che dice Dafne, perchè i concetti di analisi e sintesi sono fondamentali nella teoria degli insiemi e in tutta la matematica.
In linea di massima quel che dice ritengo sia vero... una parte del nostro pensiero mette assieme i gatti diversi (ma sempre gatti) tra di loro e l'altra li fa a pezzettini per cercare le differenze.
La parte sintetica, man mano che sintetizza, si avvicina sempre più alla "gattità", anche se a mio avviso non la coglie mai appieno (la coglie il centro emotivo) ma razionalizzando comunque tiene le sinetsi entro i confini e permette poi la dialettizzazione del concetto. La parte che ha colto il concetto (quella emotiva... maschile del centro emotivo se proprio vogliamo ma qui forse esuliamo un po') serve poi da riferimento. Una volta che la gattità è colta, le due parti intellettuali possono continuare a lavorare e conoscere sempre più senza uscire dal seminato e riferendosi di continuo all'idea colta, in modo da avere dei diciamo riscontri di quel che trova.

Si Turaz è proprio alla questione platonica che mi riferivo... immagino con quanto detto sopra di avertelo confermato. In termini moderni (oggi a molti non piace dire "mondo delle idee") il lavoro analitico e sintetico permettono di stimolare in noi la parte che tende a lavorare per achetipi, funzione che sola permette la com-prensione di quel che si indaga, mentre le due parti che lavorano dialetticamente sia la stimolano che ci si appoggiano.

Proviamo a fare un passo avanti.

Adesso che abbiamo capito il concetto di insieme possiamo applicarlo ed usarlo. Quindi possiamo "fare" gli insiemi specifici di qualche cosa. Come ad esempio gli insiemi di numeri (o di gatti).

Da notare che, per fare ciò, abbiamo bisogno di avere colto, sia il concetto di insieme che quello della cosa che vogliamo insiemizzare, numerità o gattità che sia. Non c'è alcun insieme di gatti senza gattità e/o senza insiemità. Vedete questo (è importante)?

Per fare un inieme di qualcosa devono lavorare tutte e due le parti, quella che analizza e quella che sintetizza.
Questo perchè l'insieme che via via considero sarà definito dala specifica partizione dell'universo che in quel caso mi serve, ma anche dal fatto che, all'interno di quella partizione, sintetizzo in insieme. Se una delle due manca non riesco a fare insiemi.

Quindi un "insieme di" sarà dato dall'idea archetipica di quel "di" più le caratteristiche specifiche che definisco.
Ad esempio l'insieme di numeri relativi è dato dalla numerità più le caratterstiche che applico agli elementi presi in considerazione (la relatività di posizione rispetto allo zero nella retta dei numeri).

Quado ho fatto ciò, ho stabilito un ambito dipensiero ed osservazione, ovvero ho definito l'insieme, esso si "riempie" di elementi che sono tutti gli elementi che corrispondono a quella definizione.
Ma (anzi quindi) gli elementi NON SONO l'insieme. L'insieme sussiste senza alcun bisogno di elementi, così come gli elementi esistono anche senza l'insieme.
C'è l'insieme e ci sono gli elementi in esso contenuti... elementi che, per il fatto di appartenere ad un dato insieme, acquistano un valore ulteriore nella mia ricerca... diciamo che li guardo con altri occhi, o da un punto di vista particolare, quello dell'appartenenza a quell'insieme (lo stesso elemento può appartenere ad una moltitudine di insiemi diversi) e qusto punto di osservazione mi permette di studiarne le particolarità.

Se ne studio le perticolarità analizzo, ma poi devo comunque ri-sintetizzare quel che ho trovato nel mio elemento... solo che risintetizzo dal punto di vista di quel che ho trovato, quindi da una nuova angolatura, che aggiunge qualcosa alla mia conoscenza della questione. Percorso di studio o conoscenza è un continuo alternarsi delle due funzioni... più è armonico più funziona.

Vi lascio qua, non so se è chiaro quanto ho detto, comunque capiremo ancora meglio quando parleremo la prossima volta, di sottoinsiemi e insiemi ambiente...

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Vecchio 15-10-2007, 14.13.10   #12
turaz
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chiarissimo ray.
in sostanza vado nel dettaglio (separo) per osservare meglio
sempre considerando che cmq c'è unità di "fondo".
vado oltre.
e se togliessimo il concetto di "gatto" e consideriamo ad esempio il concetto di "energia"...?
cosa rimane di quell'"idea"?
sugli emisferi
emisfero destro (intuitivo) entra in campo "prima"=chockmah (intuizione o lampo di luce)
emisfero sinistro (razionale) entra in campo "dopo"=binah (riassemblaggio e "ordine")
pensando alla meditazione è osservabile quanto affermo.
il dialogo tra i due costituisce quello che la kabbalah chiama DAAT

ciauzz

Ultima modifica di turaz : 15-10-2007 alle ore 14.15.45.
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Vecchio 15-10-2007, 18.34.26   #13
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Turaz, l'applicazione può anche essere interessante, pure se condita di cabala, ma aprine un tread no (anzi fallo proprio se ti va)? Ricordati gli scopi di questo qui... invece andrebbe benissimo se invece di "energia" usi "numero"
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Vecchio 15-10-2007, 18.39.29   #14
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va bene Ray.
Usiamo numero che rende benissimo "l'idea"...
ma se togliamo anche numero che rimane?
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