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Vecchio 06-12-2006, 22.35.07   #1
Kael
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Predefinito I Paradossi di Zenone

Inizialmente volevo prendere in considerazione solo il più celebre fra i paradossi di Zenone di Elea, cioè "Achille e la tartaruga", ma visto che egli fu un contemporaneo di Parmenide, e che pure è stato l'inventore del "ragionamento per assurdo" (vedi Aristotele e il principio di contraddizione) potremmo raggrupparli sotto lo stesso thread.

In questo paradosso Achille, il più veloce degli eroi antichi, sfida la tartaruga in una gara di corsa, concedendole un certo vantaggio (è irrilentante quanto, ma per comodità diremo un metro)
Quando la gara ha inizio, Achille raggiungerà in breve tempo la posizione da cui è partita la tartaruga (cioè un metro), ma nel frattempo lei, per quanto lenta, avrà percorso diciamo 20 cm, e sarà quindi ancora in vantaggio.
Successivamente Achille, coprirà ancora quei 20 cm di distanza, ma sempre nel frattempo la tartaruga ne avrà percorsi ulteriori 4. Poi Achille coprirà quei 4 ma nel frattempo la tartaruga ne avrà percorsi 0,8 e sarà quindi sempre lei la leader della corsa... etc etc

Come si vede, Achille non riuscirà mai a raggiungere la tartaruga, dato che la distanza fra loro non sarà mai pari a zero perchè, tempo di raggiungerla, la tartaruga per quanto lenta si sarà spostata sempre di un po' più avanti...
Matematicamente la formula mi pare essere: T = t1 + t2 + t3 + ... + tn + ... dove t è il tempo che ogni volta Achille deve impiegare per raggiungere la posizione di vantaggio della tartaruga.

Se non sbaglio, questo paradosso ha fatto impazzire gli uomini per più di 2000 anni, prima di venir risolto...
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Ultima modifica di Kael : 06-12-2006 alle ore 22.38.27.
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Vecchio 07-12-2006, 00.34.07   #2
Sole
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.. perchè Achille si ferma. Il suo scopo è arrivare a coprire la differenza ma in realtà "resta fermo" mentre la tartaruga procede.
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Vecchio 07-12-2006, 15.23.23   #3
Arjuna
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Questo è uno dei motivi per cui adoro Democrito: riuscì brillantemente a opporsi a Zenone.

Negò l' infinita divisibilità dello spazio affermando che, se ciò che Zenone dice fosse vero, allora noi non dovremmo avere consistenza: infatti a furia di dividere materia (in questo caso la superficie su cui Achille e la tartaruga corrono), si arriverebbe a minuscoli granelli di polvere.

Democrito è stato il primo a dare una buona risposta
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Vecchio 07-12-2006, 22.10.53   #4
Ray
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Questo è uno dei motivi per cui adoro Democrito: riuscì brillantemente a opporsi a Zenone.

Negò l' infinita divisibilità dello spazio affermando che, se ciò che Zenone dice fosse vero, allora noi non dovremmo avere consistenza: infatti a furia di dividere materia (in questo caso la superficie su cui Achille e la tartaruga corrono), si arriverebbe a minuscoli granelli di polvere.

Democrito è stato il primo a dare una buona risposta
buona ma non definitiva sostengono alcuni. Io invece dico che è pure diefinitiva, solo che è stata poco capita. Dai, provo a tradurre in termini moderni... e ti regalo anche uno spunto con cui forse (speriamo) riesci ad incasinare il prof

La divisione (concettuale) che viene fatta, per inciso anche dalla scianza odierna, NON è sulla materia, ma solo sulla sua misura. Ovvero dividiamo indefinitamente la misura ( e qui puoi aggiungere: ma la materia resta compatta e vince Arj-stotele )
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Vecchio 08-12-2006, 10.55.15   #5
Kael
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Questo apre anche un altro punto...
Si sa che in una retta, per quanto corta essa sia, ad esempio fra 1 e 2, ci sono sempre infiniti punti (1,1 , 1,01 , 1,002 etc) e questo crea un altro paradosso: com'è possibile che esistano diverse grandezze di insiemi infiniti, se per "infinito" consideriamo il massimo raggiungibile e quindi non espandibile?

Ad esempio, se fra 1 e 2 esistono infiniti punti... fra 1 e 3 ce ne sono il doppio...
Quindi si "raddoppia" l'infinito? E come si fa?
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Vecchio 08-12-2006, 23.09.12   #6
Arjuna
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Eccellente, Kael! Finalmente abbiamo messo in chiaro che in ciò che diceva Zenone non c' èra niente di speciale e che il suo dannato paradosso è smentibile pezzo per pezzo! E così l' Eleatismo perde il suo alfiere, manca solo il re Parmenide e la regina Senofane e li abbiamo distrutti
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Vecchio 10-12-2006, 22.58.26   #7
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Questo apre anche un altro punto...
Si sa che in una retta, per quanto corta essa sia, ad esempio fra 1 e 2, ci sono sempre infiniti punti (1,1 , 1,01 , 1,002 etc) e questo crea un altro paradosso: com'è possibile che esistano diverse grandezze di insiemi infiniti, se per "infinito" consideriamo il massimo raggiungibile e quindi non espandibile?

Ad esempio, se fra 1 e 2 esistono infiniti punti... fra 1 e 3 ce ne sono il doppio...
Quindi si "raddoppia" l'infinito? E come si fa?
Su sta cosa Leibniz è andato fuori di testa... ha risolto abbastanza (con la storia dei gradi di infinito e degli infinitesimi - magari ne facciamo un post) ma non del tutto, come lui stesso ammette.
Uno dei problemi sta proprio nella parola usata: in-finito.

Se, come lo intende Kael, è in qualche modo "il massimo" allora salta tutto e vale il paradosso (non si può raddoppiare), se invece si ammette una certa relatività di infiniti (quindi infinito ma non assoluto) allora la cosa può anche funzionare.

Nel caso della retta, il fatto che essa contenga infiniti punti e il fatto (apparentemente contradditorio) per il quale anche un qualsiasi suo segmento (tipo 1 metro o 1 cm) anche ne contenga infiniti dipende dall'incommensurabilità (impossibilità alla misurazione) del punto rispetto alla retta. Impossibilità che deriva dal fatto che punto e retta si trovano su due diversi ordini di grandezza.

Si potrebbe fare un po' di ordine se si facesse ordine nelle parole, per prima cosa.
Si dice che la retta è infinita. Ma non è così, se diciamo che infinito=assoluto. La retta è finita eccome dato che, per esempio, non contiene alcun bicchiere nè contiene Kael. Tuttavia essa contiene un numero illimitato di punti. Ovvero i limiti (leggi) che determinano (delimitano) il suo campo (piano) di esistenza NON comprende i punti. Quindi essa è limitata per molte cose, ma non per i punti, per i queli è invece illimitata. Questa illimitatezza deriva direttamente dalla definizione stessa di retta e di punto, la quale deriva dal concetto stesso di dimensione. Quindi, per esempio un piano (due dimensioni) non potrà essere limitato per quanto riguarda le rette (1 dimensione) e infatti ne può contenere un numero illimitato. Stessa cosa, analogamente, per retta e punto.

Va da se che qualsiasi porzione che abbia esistenza in una dimensione (metro o millimetro che sia) manterrà questa caratteristica di non essere limitata per quanto riguarda la dimesione precedente (quella dei punti) e quindi ne può contenere un numero illimitato. Così come qualsiasi porzione di piano (ettaro o cm quadrato) può contenere un numero illimitato di rette (segmenti in sto caso).

A questo punto risulta chiaro che l'infinito non raddoppia se raddoppia la porzione di retta che considero. Questo perchè l'infinito in questione non è un numero, ma la rappresentazione della trascendenza ad una detta legge.

Il punto in cui sorge il problema, evidenziato da Leibniz, è quello che troviamo quando suddividiamo indefinitamente (all'infinito per capirci, ma non è corretto) quella porzione di retta. Al punto vero e proprio non si arriva mai, perchè dovrei dividere un numero infinito di volte, cosa impossibile. Infatti si parla, in matematica, di limite (che è esterno alla funzione).


Bon, parlo troppo... ci torniamo però...

Ultima modifica di Ray : 10-12-2006 alle ore 23.02.37.
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Vecchio 11-12-2006, 00.10.13   #8
Kael
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Eccellente, Kael! Finalmente abbiamo messo in chiaro che in ciò che diceva Zenone non c' èra niente di speciale e che il suo dannato paradosso è smentibile pezzo per pezzo! E così l' Eleatismo perde il suo alfiere, manca solo il re Parmenide e la regina Senofane e li abbiamo distrutti
Non ho nessun interesse a distruggere nessuno, anzi... Ho stima di tutti quelli che in qualche modo hanno dato (e danno) da pensare...
Per il resto concordo con Ray, in-finito ossia dentro al finito. Dentro ad un solido (3 dimensioni) passano infinite rette ed infiniti punti, costituiti da 1 o 2 dimensioni. Il rapporto fra un cosmo e quello direttamente superiore è dato appunto dall'infinità degli elementi di cui è costituito... pertanto se la retta è l'universo dei punti, a sua volta il suo "universo" è il piano a 2 dimensioni, etc..
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